Twierdzenie o wiriale
Z Wikipedii
Twierdzenie o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale V = arn, średnie energie spełniają zależność
.
Na przykład dla oscylatora harmonicznego V = kr2, a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale 
. Dla planety w polu grawitacyjnym V = − k / r, wobec tego 
.
Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.
[edytuj] Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej
Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności. Będziemy korzystać z podstawowych własności komutatorów (przedstawione w osobnym artykule) oraz twierdzenia Ehrenfesta:
![\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/a/94a7597fdee8c1e84ce13b82f00a532a.png)
Podstawimy A = xp gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.
Żeby obliczyć komutator [xp,H] obliczymy najpierw [xp,T] gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.
![[xp, T] = [x, T]p + x[p, T] = [x, T]p = \frac{1}{2m}[x, p^2]p = \frac{1}{2m} ( [x, p]p + p[x, p]) p = \frac{2 i \hbar}{2m} p^2 = 2i\hbar T](http://upload.wikimedia.org/math/0/3/9/039ba897e7c04bee9478643b6942d8b8.png)
Następnie obliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.
![[xp, V(x)] = [x, V(x)]p + x[p, V(x)] = x[p, V(x)] = -i \hbar x \left[\frac{d}{dx}, V(x)\right] = -i \hbar x \left(\frac{dV(x)}{dx} + V(x)\frac{d}{dx} - V(x)\frac{d}{dx}\right) = -i \hbar x \frac{dV(x)}{dx}](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/c/dac19cbea226a7d266688d51b2dbfb9c.png)
W związku z tym: ![[xp, H] = [xp, T] + [xp, V(x)] = i\hbar \left(2T -x \frac{dV(x)}{dx} \right)](http://upload.wikimedia.org/math/8/c/a/8caa0512f7d0de6f1b1dc912cf1187f2.png)
Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:
Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:
gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Przyjmując V(x) = axn dostajemy twierdzenie wirialne.
[edytuj] Linki zewnętrzne
| Przerażająca relacja Czerwonego Krzyża z Gazy |
|
W niezwykle ostrych słowach Międzynarodowy Czerwony Krzyż upomniał Izrael za uniemożliwianie lub utrudnianie karetkom pogotowia wywożenia rannych z terenów walk w Strefie Gazy.
|
| Chiny już nie chcą pożyczać pieniędzy Ameryce |
|
Chiny zaczynają ograniczać pożyczanie pieniędzy USA w postaci wykupywania amerykańskich obligacji skarbowych - pisze czwartkowy "New York Times". Na krótką metę może to być bolesne dla zadłużonych i pogrążonych w recesji Stanów Zjednoczonych.
|
| Szefowie Gazpromu i Naftohazu jadą do Soczi |
|
Szefowie rosyjskiego Gazpromu i ukraińskiego Naftohazu, Aleksiej Miller i Ołeh Dubyna, z Brukseli razem polecą do Soczi, nad Morzem Czarnym - podała w czwartek wieczorem agencja ITAR-TASS, powołując się na dobrze poinformowane źródło w stolicy Belgii.
|
| "Chwała Bogu, z Polską wszystko uregulowane" |
|
Premier Rosji Władimir Putin wyraził w czwartek zadowolenie ze stanu relacji z Polską w sferze tranzytu rosyjskiego gazu ziemnego do Europy Zachodniej.
|
| Dwudziestu siedmiu ministrów karci Rosję i Ukrainę |
|
Ministrowie spraw europejskich krajów UE przyjęli w czwartek wspólną deklarację, w której ocenili, że w konflikcie gazowym Ukraina i Rosja szkodzą swej wiarygodności, oraz zapowiedzieli przyspieszenie prac nad polityką bezpieczeństwa energetycznego.
|